先学会读「上下关系图」
向上走得到，才表示“小于等于”；左右位置不表示大小。
哈斯图 · 省略箭头、自己到自己、跨层连线
展开：偏序、最大与极大
偏序满足自反（a≤a）、反对称（a≤b 且 b≤a ⇒ a=b）、传递（a≤b 且 b≤c ⇒ a≤c）。任意两点不一定可比较。
最大元：大于等于所有元素；极大元：没有比它更大的元素。最大元若存在则唯一；极大元可能有多个。最小元与极小元对偶定义。有限非空偏序集一定有极大元、极小元，但可能没有最大元、最小元。
选两个点，找它们共同的上下界
最小上界叫“并” ∨，最大下界叫“交” ∧。
↑ 最小上界 x ∨ y
↓ 最大下界 x ∧ y
完整结果已显示。可以播放搜索过程。
展开：怎样才是格？
上界 u 需要同时满足 x≤u、y≤u；最小上界还必须小于等于每个共同上界。下界及最大下界反向定义。“最小上界”不是随便找一个处于上方的点。
格：任意两个元素都有唯一的最小上界和最大下界。只验证一对不够；一对失败就不是格。子集格中，∨=∪，∧=∩；正因数整除格中，∨=最小公倍数，∧=最大公因数。
同一个格，两种看法
一幅上下关系图，也可以变成两种运算。
关系视角
运算视角
格的四条基本规律 · 点击查看图解
展开：代数定义如何对应偏序定义？
非空集合上的两种二元运算 ∧、∨，若各自满足交换律、结合律，并满足两条吸收律，就构成格（幂等律可由这些规律推出，常一起列出）。定义 a≤b ⇔ a∧b=a，就得到对应的偏序。
反过来，偏序中的每对元素若都有最小上界与最大下界，用它们定义 ∨、∧，就得到这些规律。分配律是额外要求，不是所有格都满足。
“格”不一定能分配
同一条式子，换一个格，结果可能变了。
先合并 b、c，再与 a 取交
分别取交，再合并
展开：分配格的定义
对所有 a,b,c，a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c)，并且 a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c)，称为分配格。在格中，两条分配律互相等价。
子集格中就是集合的交、并分配律。M₃ 中取三个互不可比的中间点 a,b,c：左边 a∧1=a，右边 0∨0=0，构成反例。
补元：拼满全部，重叠为空
必须同时满足“并到顶”和“交到底”。
点击一个候选 y，试试能否成为补元
展开：有界格、有补格、唯一性
有界格有最小元 0 和最大元 1，这里是符号名称，不一定是数字。y 是 x 的补元，要求 x∨y=1 且 x∧y=0。
有界格中每个元素都有补元，才叫有补格。有补格的补元未必唯一；分配格中若补元存在则唯一。非空有限格一定有界，无限格不一定（例如整数按通常大小排列）。
布尔代数：让这些规则一起成立
有界 + 分配 + 每个元素有补元。
把抽象符号变成一盏灯
| 同一种结构 | ∧ 交 | ∨ 并 | 补 | 0 / 1 |
|---|---|---|---|---|
| 集合 | 共同部分 ∩ | 合并 ∪ | 相对全集的余下部分 | ∅ / 全集 U |
| 真假逻辑 | 与 AND | 或 OR | 非 NOT | 假 / 真 |
布尔代数不只含 0、1 两个元素。全集有 n 个元素时，它的全部子集构成含 2ⁿ 个元素的布尔代数。
德摩根律：把“非”推到里面
与、或互换，每个输入都取反。
这也是集合规律：(A∩B)ᶜ=Aᶜ∪Bᶜ，(A∪B)ᶜ=Aᶜ∩Bᶜ。
现在，你能分清它们了
先看每对元素的界，再看分配和补元。
| 图的例子 | 是格 | 分配 | 有补 | 布尔代数 |
|---|---|---|---|---|
| 四点子集格 | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| 三点链 | ✓ | ✓ | × | × |
| 五点菱形 M₃ | ✓ | × | ✓ | × |
| 两上界互不可比的反例 | × | — | — | × |