CHAPTER 06 / VISUAL MATH LAB
代数系统的
一般概念
先玩一台运算机器，再走一圈时钟。让半群、群、环、域，从抽象名字变成看得见的规则。
零基础起步图解 × 互动 × 动画从第一幅图开始 ↓
先认识一台「运算机器」
集合是材料箱，运算是加工规则。
试试：正整数做 2 − 3；整数做 2 ÷ 3。结果还在箱子里吗？
展开：封闭性与代数系统
二元运算 ∗：S × S → S，把 S 中任意两个元素对应到 S 中唯一一个元素。代数系统由非空集合和其上的运算组成，如 ⟨ℤ,+⟩、⟨ℤ,+,×⟩。封闭要求“任意输入”都通过；一个成功例子不能证明封闭，一个反例就能否定。
ℤ 表示整数，ℚ 表示有理数（整数之比），ℝ 表示实数。除法还可能遇到分母 0，因此也不是整数集上的二元运算。
六条规则，用图来记
换顺序、换括号、拆开算——它们是不同的事。
展开：完整公式
结合律：(a∗b)∗c = a∗(b∗c)；交换律：a∗b = b∗a；幂等律：a∗a = a。分配律：a∗(b∘c) = (a∗b)∘(a∗c)，还需检查右分配律。吸收律：a∗(a∘b) = a，以及 a∘(a∗b) = a。
图中的 ∪ 是集合的合并，∩ 是集合的共同部分。幂等与吸收常见于集合运算；普通加法并不满足它们。
三种特别的元素
不改变你、把你吞掉、帮你还原。
展开：定义与幂等元
幺元 e：a∗e=e∗a=a。零元 z：a∗z=z∗a=z。a 的逆元 b：a∗b=b∗a=e。幂等元 a：a∗a=a。都是相对于给定运算而言；逆元依赖幺元。
实数加法的幂等元只有 0；实数乘法的幂等元是 0 和 1。幂等律则要求每个元素都幂等。
从半群，一步步走到群
每往右一步，多满足一条要求。
群不要求交换律；额外满足交换律，才叫交换群（阿贝尔群）。
在六格时钟上，亲手做一次群运算
走过 5，下一格回到 0。这就是“模 6 加法”。
0：原地不动
每个位置，都有回到 0 的步数。
Z₆ = {0,1,2,3,4,5}；先普通相加，再取除以 6 的余数。
挑一些点，能组成自己的小群吗？
子群使用原来的运算；不是随便选一个子集就行。
点击数字选入 / 移出 H
展开：子群判别条件
H 是群 G 的子群 ⇔ H 非空，且对任意 a,b∈H，a∗b⁻¹∈H。也可分别检验：H 非空、对运算封闭、对取逆封闭；结合律直接继承自 G。
这里是加法群，所以判据写成 a−b（模 6）仍属于 H。对有限非空子集，封闭性已足以推出子群；一般无限子集不能只检查封闭性。
加上第二种运算：环与域
环有“加法”和“乘法”；域中，每个非零元素都能做乘法还原。
环：两套规则配合
域：非零乘法也成交换群
乘法表：行 × 列，再取余数
试着切到 Z₆，选择 2：它乘遍所有元素，也找不到结果 1。
展开：定义、例子与教材约定
环 ⟨R,+,·⟩：加法是交换群；乘法结合；乘法对加法满足左右分配律。这里采用不强制乘法幺元的环定义；有的教材把“有 1”写入定义。照片未给出该项定义，请以正文约定为准。
域：具有 1≠0 的交换环，且每个非零元素有乘法逆元。ℤ 是环但不是域（2 的乘法逆元不在 ℤ）；ℚ、ℝ 是域。Zₙ（n≥2）总是环，且恰在 n 为素数时是域。
把图变成判断力
先自己选，再看一句话解释。