点与线的数学
图，不过是「一些点 + 一些连线」。可它摇身一变，就成了朋友圈、地铁网、分子，甚至整个互联网。
亲手画一个图
数学里管点叫顶点(vertex)，管连线叫边(edge)。别急着背，动手玩一下。
按住一个点会拖出虚影（原点不动）：放到另一个点上松手=连线；放到空白处=把这个点移过去。图只看谁和谁连着。
同样的「点 + 线」，装进不同生活场景，换个名字继续用：
图，也分门派
有的边能"回头"，有的带数字，有的像麻绳一样多条并排。点下面的标签，看差别。
无向图
边没有方向。我和你是朋友，你也是我的朋友——线是"互通"的。
例子：微信好友 · 家庭关系有向图
每条边都带着箭头，只往一个方向走。我关注你，你不一定关注我。
例子：微博关注 · 单向交通带权图
边上挂着数字（权）——可以是公里、时间、花费。
例子：地图导航 · 运输成本自环 · 重边
自环：一点连自己；重边：两点之间有好几条线。它们是"加料版"，有些场合才让用。
例子：同时有多条航班 · 债券环来试一下：地铁线路图，是无向还是有向？
一个点，有多"忙"？
一个点连着的边数，就叫它的度(degree)。点一下图里的任意顶点。
🌟 握手定理：一场派对，每个人握手若干次。数一下所有人握手次数之和——等于 2 × 握手次数。因为每一次握手，都被两个人的手各数了一次。图上同理：每条边被它的两个端点各数一次。
走一走在图里面
图是用来"走"的。先点起点，再点终点，然后按"出发"，看它怎么找路。
💡 为什么它找的是最短路？因为它像水波一样一圈一圈往外扩散，水波先碰到终点时，走的圈数就是最短的——这个算法叫 BFS（广度优先）。虚线是抄近路的"捷径"。
树：不会成环的图
树(tree)是一种特别的图：6 个点连成一片，又没有环。下面 6 个点之间可以搭 7 条线，点一下线来开/关。目标：搭出一棵树。
💡 任何一棵 n 个点的树，都有恰好 n−1 条边。6 个点 → 5 条边。
🌳 现实中的"树"无处不在：家谱、电脑的文件夹、族谱……都是"一根主干分叉，绝不回头成圈"的结构。
一笔画：欧拉的成名作
图论最出名的游戏：每条边只走一次，能不能画完？这就是 1736 年欧拉解决的「柯尼斯堡七桥」问题。
先点一个顶点落笔，然后沿着边滑动，把每条边都走一遍。
🔑 欧拉的大发现：数数每个点的度是奇数还是偶数—— 0 个奇度点能画成圈（回到起点）； 2 个奇度点能从一头画到另一头； ≥4 个奇度点——神仙也画不出来。
涂色：相邻不能同色
相邻的两个点，颜色不能相同。给这个五角环涂色，看看你最少能用几种颜色。
🧩 地图也能变成图：每块区域是一个点，接壤就连一条线。给地图染色 = 给图染色。
🎨 著名结论四色定理：任何一张平面地图，4 种颜色永远够用。但像五角环这种图，3 种就够了。
小测验
四处点点看，答错也没关系，每题都会告诉你为什么。
一图总览
点一下任意概念，跳回对应的实验再玩一遍。
离散数学的「图」，就是帮你把复杂的关系，画成看得见、玩得动的形状。
想再看一遍？