一眼看懂知识结构
4 个板块 · 9 个模块先建立共同基础，再选择分支。箭头表示建议的学习衔接，编号用于定位模块。
这是一张知识组织图，并非所有模块都必须按编号串行学习。具体先修知识见各模块。
基础语言
先学会表达命题、组织对象，并给出严谨证明。
01数理逻辑怎样把一句话写成可推理、可证明的数学表达？
先修知识无；建议从这里开始
01.1命题逻辑
- 命题、真值
- 逻辑联结词：¬、∧、∨、→、↔
- 真值表、等价式、蕴含式
- 命题逻辑推理
01.2谓词逻辑
- 谓词、全称量词 ∀、存在量词 ∃
- 谓词逻辑推理
01.3证明方法
- 直接证明、反证法、数学归纳法等
学会之后能写出命题的否定，使用真值表判断等价，并选择合适的证明方法。
02集合论怎样描述一组对象，以及对象之间的组合方式？
先修知识数理逻辑中的基本表达
02.1集合与元素
- 集合、元素、子集、空集、全集、幂集
02.2集合运算
- 并集、交集、差集、补集、对称差
- 集合恒等式
02.3构造新集合
- 笛卡尔积：为关系和函数提供对象空间
学会之后能完成集合运算，区分元素与子集，并列出两个有限集合的笛卡尔积。
关系与映射
在集合之上，描述对象怎样关联、分类、排序与对应。
03关系对象之间如何关联？哪些关联能用来分类或排序？
先修知识集合、笛卡尔积、逻辑推理
03.1表示与运算
- 二元关系：有序对、矩阵、关系图
- 关系的逆、复合，以及 R²、R³ 等
03.2性质与闭包
- 自反、反自反、对称、反对称、传递
- 自反闭包、对称闭包、传递闭包
03.3分类与排序
- 等价关系 → 等价类 → 集合的划分
- 偏序关系、偏序集、哈斯图、覆盖关系
- 极大元、极小元、最大元、最小元
- 上界、下界、上确界、下确界、全序、良序
学会之后能判断关系的性质，用等价类分类，并读懂偏序集的哈斯图。
04函数怎样让定义域中的每个对象恰好对应一个输出？
先修知识集合与关系的基本概念
04.1函数的定义
- 函数、定义域、陪域、值域、函数相等
04.2映射的类型
- 单射、满射、双射
04.3运算与计数
- 复合函数、逆函数、特殊函数
- 集合之间函数数量的计算（结合计数原理）
学会之后能区分陪域与值域，判断单射、满射和双射，并确定函数是否有逆函数。
代数结构
研究集合上的运算规律，以及由这些规律形成的结构。
05代数系统给集合加上运算后，会得到什么数学结构？
先修知识集合、函数、逻辑与证明
05.1运算及其性质
- 二元运算、封闭性
- 交换律、结合律、分配律、幂等律
05.2特殊元素
- 左幺元、右幺元、幺元
- 左零元、右零元、零元
- 左逆元、右逆元、逆元
05.3结构及其分类
- 半群、独异点 / 幺半群（Monoid）
- 群、阿贝尔群、子群、循环群、陪集
- 环、整环、域
学会之后能根据运算性质判断半群、幺半群与群，并区分群的一种运算和环、域的两种运算。
06格与布尔代数偏序和逻辑运算怎样汇合为代数结构？
先修知识偏序、上下确界、二元运算、命题逻辑
06.1从偏序到格
- 格、子格、分配格
06.2格的特殊结构
- 有界格、有补格、布尔格、布尔代数
06.3逻辑与应用
- 布尔函数及其与逻辑电路之间的关系
学会之后能判断每对元素是否都有上确界和下确界，并联系布尔运算与逻辑联结词。
计数与图结构
计算有多少种可能，并用顶点、边与树描述离散问题。
07组合数学不逐个枚举，怎样计算方案的数量？
先修知识集合、函数、数学归纳法
07.1基本计数
- 加法原理、乘法原理
07.2组合工具
- 排列、组合、二项式定理
- 鸽巢原理、容斥原理
07.3递推与拓展
- 递推关系
- 生成函数（部分教材讲）
学会之后能区分相加与相乘、排列与组合，并处理重复计数。
08图论怎样用顶点与边描述连接、路径和网络？
先修知识集合、关系；计数与证明方法辅助分析
08.1图的语言
- 图、顶点、边
- 有向图、无向图、简单图、完全图、二部图
- 顶点的度、路、通路、回路、连通图
08.2表示与典型问题
- 图的矩阵表示
- 欧拉图、欧拉回路、哈密顿图、哈密顿回路
08.3算法与应用
- 最短路径、平面图、图着色
学会之后能将问题建模为图，区分遍历边的欧拉回路与遍历顶点的哈密顿回路。
09树无回路的连接结构，怎样用于组织与优化？
先修知识图论中的路径、连通性和回路
09.1定义与组织
- 树的定义与性质
- 根树、二叉树、遍历
09.2生成树与算法
- 生成树、最小生成树
- Prim 算法、Kruskal 算法
09.3编码应用
- Huffman 树与编码
学会之后能使用树的基本性质，理解最小生成树的目标，并说明 Huffman 编码的用途。
把知识地图变成学习路线
先完成共同基础，再按当前课程或学习目标选择分支；不必先学完代数系统才能开始组合数学与图论。
起步 / 建立共同语言
数理逻辑 → 集合论 → 关系 → 函数
证明方法贯穿后续所有模块，遇到具体问题时再反复练习。
分支 A / 深入代数结构
二元运算 → 幺元、零元与逆元 → 半群 → 幺半群 → 群 → 阿贝尔群、子群、循环群与陪集 → 环、整环与域
这里的箭头表示学习顺序。半群加上幺元成为幺半群，幺半群中每个元素都有逆元才成为群；环与域进一步研究两种运算，并非只在群上逐项增加条件。
分支 B / 联系偏序与逻辑
偏序与上下确界 → 格 → 分配格、有界格与有补格 → 布尔代数 → 布尔函数与逻辑电路
同时复习二元运算与命题逻辑，将“序关系”和“逻辑运算”联系起来。
分支 C / 计数与网络问题
计数原理 → 排列组合、容斥与递推
图的基本概念 → 路径与连通性 → 树 → 最小生成树与 Huffman 编码
两条线可以交替学习。图的计数问题会用到组合方法；树的算法需要先理解图的基本结构。