一个集合,配上几条规则,就成了数学里的一套"玩具世界"。先点一点右边的钟,感受一下什么叫运算。
只需要两个零件,就能搭出一个"玩具世界":一只袋子,一条规矩。
半群、幺半群、群……差别只在于它们满足几条规则。规则越全,玩具越好玩。下面四条,点点卡片看讲解,再到钟上去试。
每往上爬一级,就多加一条规则。点阶梯上的每一级,看看它离"群"还差什么。
环在同一个袋子里放了两套运算。加法那套很完整(是个群,所以能减);乘法那套先只要求"封闭 + 结合"(暂不保证能除);两套之间还得讲分配律。
在环里,乘法不一定能逆。可要是连每个非零元素都配上乘法逆元,就升级成了域——有理数 ℚ、实数 ℝ、复数 ℂ 都是,还有下面这种"模素数的钟"。
选一个例子,看它满足哪些规则。也可以点规则把它"破坏"掉,看看结构会降级成什么——这是理解每个概念最狠的一招。
左边的"洋葱"是单运算家族:层越往里,要求越多、结构越强。右边是双运算家族:从环一路到域。点任意一层看看它的定义。
五道小题,答错也没关系——每道都有讲明白的答案。